Menyelesaikan Persamaan Eksponen


Kali ini kita akan menyelesaikan persamaan eksponen. Persamaan eksponen memiliki berbagai variasi soal dan cara untuk mengerjakan.

Daftar isi

Bab ini membahas tiga macam persamaan eksponen, yaitu: (1) persamaan eksponen dengan basis sama; (2) persamaan eksponen dengan basis berbeda; dan (3) persamaan kuadrat eksponen.

Persamaan Eksponen dengan Basis Sama

Jika \(a\) adalah bilangan bulat, \(a \neq 0\) maka berlaku hubungan \(a^{f(x)}=a^p\) sehingga \(f(x)=p\).

Contoh:
\[a.\quad 2^x = 32\] \[\quad \quad 2^x = 2^5\] \[\quad \quad x = 5\]

\[b.\quad 2^{x+1}.3^{x-1} = 24\] \[\quad \quad 2^x.2.3^x.\frac{1}{3}=24\] \[\quad \quad (2.3)^x = \frac{24\times 3}{2}\] \[\quad \quad 6^x = 36\] \[\quad \quad 6^x = 6^2 \] \[\quad \quad x = 2\]

\[c.\quad \left(\frac{1}{3}\right)^3 \sqrt{3^{2x+1}} = 27\] \[\quad \quad 3^{-3}.3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^3\] \[\quad \quad 3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^6\] \[\quad \quad \frac{1}{2}(2x+1)=6 \] \[\quad \quad 2x+1=12 \] \[\quad \quad x=\frac{11}{2}\]

\[d.\quad \sqrt[4]{(0,2)^x} = 25^{x+1}\] \[\quad \quad \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{x}{4}} = 5^{2x+2}\] \[\quad \quad 5^{\frac{-x}{4}} = 5^{2x+2}\] \[\quad \quad \frac{-x}{4} = 2x+2\] \[\quad \quad -x = 8x+8 \] \[\quad \quad x=\frac{-8}{9}\]

Persamaan Eksponen dengan Basis Berbeda

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini dibutuhkan \(\log\) atau \(ln\)

like-fb-tentorku

Apabila Anda menyukai artikel Tentorku, bantu Tentorku untuk tumbuh di www.facebook.com/tentorku/

Contoh:
\[a.\quad 2^{x+3} = 5^{2x}\] \[\quad \quad \ln2^{x+3} = \ln5^{2x}\] \[\quad \quad (x+3)\ln2 = (2x)\ln5\] \[\quad \quad x\ln2 + 3\ln2 = 2x\ln5\] \[\quad \quad 3\ln2 = 2x\ln5 – x\ln2\] \[\quad \quad 3\ln2 = x(2\ln5 – \ln2)\] \[\quad \quad x = \frac{3\ln2}{2\ln5-\ln2}\] \[\quad \quad x = \frac{\ln8}{\ln25-\ln2}\]

\[b.\quad 2^{x+3} = 10^{x+3}\] \[\quad \quad \log2^{x+3} = \log10^{x+3}\] \[\quad \quad (x+3)\log2 = (x+3)\log10\] \[\quad \quad x\log2 + 3\log2 = x + 3\] \[\quad \quad 3\log2 – 3 = x – x\log2\] \[\quad \quad 3(\log2-1) = x(1-\log2)\] \[\quad \quad x = \frac{3(\log2 – 1)}{1-log2}\] \[\quad \quad x = \frac{3(\log2-1)}{-(\log2-1)} = -3\]

Persamaan Kuadrat Eksponen

Ini adalah bentuk persamaan kuadrat, hanya saja variabelnya adalah eksponen, untuk menyelesaikan persamaan eksponen ini dibutuhkan pemisalan variabel, seperti \(y = 3^x\) atau \(y = 2^x\), dsb..

Contoh:
\[a.\quad 2^{2x-1} – 9.2^{x-2} + 1 = 0\] \[\quad \quad \frac{1}{2}.2^{2x} – 9.\frac{1}{4}.2^x + 1 = 0\] \[\quad \quad \frac{1}{2}.\left(2^x\right)^2 – \frac{9}{4}.(2^x) + 1 = 0\quad y = 2^x\] \[\quad \quad \frac{1}{2}y^2 – \frac{9}{4}y + 1 = 0\] \[\quad \quad \quad (y – \frac{1}{2})(\frac{1}{2}y-2)\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{2} \lor y = 4\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2^x=\frac{1}{2} \quad \quad x = -1\] \[\quad \quad \quad y = 4 \quad \Rightarrow \quad 2^x=4 \quad \quad x = 2\]

\[b.\quad 3^{2x+1} + 9 = 3^{x+3} + 3^x\] \[\quad \quad 3.\left(3^x\right)^2 + 9 = 27.(3^x) + 3^x\] \[\quad \quad 3.\left(3^x\right)^2 + 9 = 28.(3^x)\quad y=3^x\] \[\quad \quad 3y^2 – 28y + 9 = 0\] \[\quad \quad \quad (y – 9)(3y – 1)\] \[\quad \quad \quad y = 9 \lor y=\frac{1}{3}\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3^x = \frac{1}{3} \quad \quad x=-1\] \[\quad \quad \quad y = 9 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 9 \quad \quad x=2\]

\[c.\quad 9^{x+1} + 81 = 246.3^x\] \[\quad \quad 9.\left(3^x\right)^2 + 81 = 246.(3^x) \quad y=3^x\] \[\quad \quad 9y^2 – 246y + 81 = 0 \quad (\div 3)\] \[\quad \quad 3y^2 – 82y + 27 =0\] \[\quad \quad \quad (y – 27)(3y – 1)\] \[\quad \quad \quad y = 27 \lor y = \frac{1}{3}\] \[\quad \quad \quad y = 27 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 27 \quad \quad x = 3\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3^x = \frac{1}{3} \quad \quad x=-1\]

\[d. \quad 5.2^x = 2.4^x + 2\] \[\quad \quad 5.2^x = 2.\left(2^x\right)^2 + 2 \quad y = 2^x\] \[\quad \quad 5y = 2y^2 + 2\] \[\quad \quad 2y^2 – 5y + 2 = 0\] \[\quad \quad \quad (y – 2)(2y – 1)\] \[\quad \quad \quad y = 2 \lor y = \frac{1}{2}\] \[\quad \quad \quad y = 2 \quad \Rightarrow \quad 2^x = 2 \quad \quad x = 1\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2^x = \frac{1}{2} \quad \quad x = -1\]

\[e. \quad 64^x – 8^{x+1} + 16 = 0\] \[\quad \quad \left(8^x\right)^2 – 8.(8^x) + 16 = 0 \quad y = 8^x\] \[\quad \quad y^2 – 89 + 16 = 0\] \[\quad \quad \quad (y – 4)(y – 4)\] \[\quad \quad \quad y = 4\] \[\quad \quad \quad y = 4 \quad \Rightarrow \quad 8^x = 4 \] \[\quad \quad 2^{3x} = 2^2 \quad \quad x = \frac{2}{3}\]

\[f. \quad 3^{2x+1} + 3^{x+2} = 3\frac{1}{3}\] \[\quad \quad 3.\left(3^x\right)^2 + 9.(3^x) = \frac{10}{3} \quad y = 3^x\] \[\quad \quad 3y^2 + 9y – \frac{10}{3} = 0 \quad (\div 3)\] \[\quad \quad y^2 + 3y – \frac{10}{9} = 0\] \[\quad \quad \quad (y + \frac{10}{3})(y – \frac{1}{3})\] \[\quad \quad \quad y = \frac{-10}{3} \lor y = \frac{1}{3}\] \[\quad \quad \quad y = \frac{-10}{3} \quad \Rightarrow \quad 3^x = \frac{-10}{3} \quad \Rightarrow \quad N/A\] \[\quad \quad \quad y = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3^x = \frac{1}{3} \quad \quad x = -1\]

Kontributor:

Kutip materi pelajaran ini:
Kontributor Tentorku, 2015, "Menyelesaikan Persamaan Eksponen," Artikel Tentorku, https://www.tentorku.com/menyelesaikan-persamaan-eksponen/ (diakses pada 25 May 2017).

Materi Pelajaran Terkait:

Materi pelajaran ini bukan yang Anda butuhkan?
Anda dapat mengisi komentar di bawah untuk memberitahu kami topik atau judul pelajaran yang Anda inginkan.
Anda juga bisa mengirimkan komentar pada Tentorku di akun fb/twitter/google kami di @tentorku.
Topik dengan voting komentar terbanyak akan mendapatkan prioritas dibuatkan pembahasan.

Tinggalkan komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Kode Verifikasi * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.