Rumus Umum Eksponen

Eksponen atau bentuk pangkat merupakan materi yang tidak terlalu sukar untuk dikuasai. Pada artikel sebelumnya, telah dibahas tentang eksponen bulat positif, eksponen bulat negatif, bentuk akar, dan bentuk pecahan. Apabila Anda belum membaca artikel sebelumnya, penulis sarankan untuk membacanya terlebih dahulu agar dapat mengerti bagian ini.

Kali ini kita akan mempelajari lima rumus umum eksponen. Apabila p dan q adalah bilangan real, maka rumus-rumus eksponen berikut ini akan berlaku:

\[1.\quad a^p \times a^q = a^{p+q}\] \[2.\quad (a^p)^q = a^{pq}\] \[3.\quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \quad a \neq 0\] \[4.\quad (ab)^p = a^p b^p\] \[5.\quad \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} \quad b \neq 0\]

Contoh soal rumus eksponen 1:
\[a.\quad 2^2 \times 2^3 = 2^{2+3} = 2^5\] \[b.\quad 5^5 \times 5^{-3} = 5^{5-3} = 5^2\] \[c.\quad 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{6}} = \sqrt{3}\]

Contoh soal rumus eksponen 2:
\[a.\quad (2^3)^4 = 2^{12}\] \[b.\quad (4^{\frac{1}{3}})^{-3} = 4^{-1} = \frac{1}{4}\] \[c.\quad (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{6}{12}} = \sqrt{x}\]

Contoh soal rumus eksponen 3:
\[a.\quad \frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\] \[b.\quad \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{-1}} = a^{\frac{1}{2}-(-1)} = a^{\frac{3}{2}}\] \[c.\quad \frac{(x+2)^{\frac{4}{3}}}{(x+2)^{\frac{5}{6}}} = (x+2)^{\frac{4}{3}-\frac{5}{6}} = (x+2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x+2}\]

Contoh soal rumus eksponen 4:
\[a.\quad (2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3\] \[b.\quad (16x)^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} = 4x^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x}\] \[c.\quad (2x)^{-2} = 2^{-2}x^{-2} = \frac{1}{4x^2}\]

Contoh soal rumus eksponen 5:
\[a.\quad \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\] \[b.\quad \left(\frac{a^2}{b^3}\right)^{-3} = \frac{a^{-6}}{b^{-9}} = \frac{b^9}{a^6}\] \[c.\quad \left(\frac{4^3}{2^6}\right)^{-\frac{1}{3}} = \frac{4^{-1}}{2^{-2}} = \frac{4}{4} = 1\]

Soal-soal sulit yang diselesaikan:
\[a.\quad \sqrt[6]{\sqrt[3]{x^2}} = \sqrt[6]{x^{\frac{2}{3}}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x}\] \[b.\quad \frac{8 \sqrt[3]{a^2} \sqrt[4]{b} \sqrt{\frac{1}{c}}}{-2 \sqrt[3]{a} \sqrt{b^5} \sqrt{c}} = \frac{8a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{4}}c^{-\frac{1}{2}}}{-2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{2}}c^{\frac{1}{2}}} = -4a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{9}{4}} c^{-1}\] \[c.\quad \left(\frac{a^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{a^{\frac{3}{6}}}{x^{\frac{3}{6}}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}\]