Rumus Umum Bentuk Akar (Radikal)

Bentuk akar adalah sebuah ekspresi \(\sqrt[n]{a}\) yang menunjukkan akar pangkat ke-n dari bilangan a. Bilangan bulat positif n adalah indeks/orde/pangkat akar dari bilangan a yang diambil akarnya (radikan). Apabila pangkat akar n = 2, maka pangkat tidak perlu ditulis dalam ekspresi. Sehingga \(\sqrt[3]{7},\quad \sqrt[4]{x+2},\quad \sqrt{y-3}\) memiliki pangkat masing-masing 3,4, dan 2, dan memiliki radikan masing-masing 7, x+2, dan y-3.

Rumus Umum Bentuk Akar
Rumus untuk radikal sama dengan rumus yang tertulis pada eksponen, karena \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\). Berikut ini adalah rumus yang paling sering dipakai dalam soal, ingat bahwa n adalah bilangan genap dan \(a,b\geq 0\).

\[1.\quad (\sqrt[n]{a})^n = a\] \[2.\quad \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\] \[3.\quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\quad b\neq 0\] \[4.\quad \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\] \[5.\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\]

Contoh Soal Bentuk Akar 1
\[a.\quad (\sqrt[3]{5})^3 = 5\] \[b.\quad (\sqrt{x^2+1})^2 = x^2+1\] \[c.\quad (\sqrt[6]{x^7+y^7})^6 = x^7+y^7\]

Contoh Soal Bentuk Akar 2
\[a.\quad \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\times 2} = 3\sqrt[3]{2}\] \[b.\quad \sqrt[4]{x^4y^3} = \sqrt[4]{x^4}\sqrt[4]{y^3} = x\sqrt[4]{y^3}\] \[c.\quad \sqrt{18} = \sqrt{9\times 2} = 3\sqrt{2}\]

Contoh Soal Bentuk Akar 3
\[a.\quad \sqrt[5]{\frac{5}{32}} = \frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{5}}{2}\] \[b.\quad \sqrt{\frac{(x+1)^2}{(y-2)^4}} = \frac{\sqrt{(x+1)^2}}{\sqrt{(y-2)^4}} = \frac{x+1}{(y-2)^2}\quad y\neq 2\] \[c.\quad \sqrt{\frac{20}{12}} = \frac{\sqrt{4\times 5}}{\sqrt{4\times 3}} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\]

Contoh Soal Bentuk Akar 4
\[a.\quad \sqrt[3]{(27)^4} = (\sqrt[3]{3^3})^4 = 3^4 = 81\] \[b.\quad \sqrt{(12)}^3 = (\sqrt{4\times 3})^3 = 2^3\times \sqrt{27} = 8\times 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\] \[c.\quad \sqrt[4]{(x^2+3)^8} = (x^2+3)^{\frac{8}{4}} = (x^2+3)^2\]

Contoh Soal Bentuk Akar 5
\[a.\quad \sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[6]{5}\] \[b.\quad \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[12]{2}\] \[c.\quad \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{2^6} = 2\]

Soal Sulit Yang Diselesaikan
\[a.\quad \sqrt[n]{a^{8n+2}} = \sqrt[n]{a^{8n}}\times \sqrt[n]{a^2} = a^8\sqrt[n]{a^2}\] \[b.\quad \sqrt{(100x^2y^4)^3} = (\sqrt{100x^2y^4})^3 = (10xy^2)^3 = 1.000x^3y^6\] \[c.\quad \sqrt[5]{\sqrt{5^{20}a^{30}b^{40}}} = \sqrt[10]{5^{20}a^{30}b^{40}} = 25a^3b^4\]